Eksponentti- ja trigonometristen funktioiden integroiminen

Derivoinnin ja integroinnin kannalta eksponenttifunktioita on oikeastaan kahta lajia, e-kantaisia eksponenttifunktioita ja muita eksponenttifunktioita. Jälkimmäiset ovat huomattavasti hankalampia ja niitä tulee lukiossa harvemmin eteen.

Neperin luku e on juuri siitä syystä merkittävä, että funktion f(x) = eˣ derivaatta on funktio f(x) itse. Sama pätee luonnollisesti integroinnissa

Usein eksponentissa on myös sisäfunktio, joten pitää olla tarkkana

Muista, että integroinnin tulos kannattaa aina tarkistaa derivoimalla (tai CAS-laskimella).

Esimerkki 1: Laske integraali

Lasketaan vielä yksi integraali, missä kantalukuna on jokin muu kuin e. Tällaiset laskut menevät aina samalla idealla

Esimerkki 2: Integroi

Trigonometristen funktioiden integrointi on melkein yhtä helppoa, ainoastaan etumerkit menevät helposti sekaisin.

Tangentti vielä puuttuu, palaamme siihen myöhemmin. Jälleen pitää olla tarkkana sisäfunktion kanssa ja pinta-alalaskuissa sen kanssa, milloin funktio on positiivinen ja milloin negatiivinen.

Esimerkki 3: Integroi

Esimerkki 4: Integroi

Esimerkki 5: Laske funktion f(x)=sin(x) ja x-akselin rajaama pinta-ala välillä [0,2𝝅].

Hahmotellaan ensin kuvaajaa

Sinin nollakohdat annetulla välillä ovat 0, 𝝅 ja 2𝝅. Välillä [0,𝝅] funktio saa vain positiivisia arvoja, välillä [𝝅,2𝝅] vain negatiivisia arvoja. Näin voidaan jakaa integraali puoliksi