Trigonometriset yhtälöt

Esimerkki 1

Määritä kaikki kulmat, joille

Yksikköympyrässä tarkasteltuna sini on y-arvo, joten kahdella kulmalla sinin arvo on 0,5

Ensimmäinen kulma, jolla sini saa arvon 0,5 on 𝜋/6, joten

Sinin jakso on 2𝜋, eli täyden kierroksen välein sini saa saman arvon. Kaikki ratkaisut yhtälöön sin(x)=0,5 ovat

Edellisessä n on jokin kokonaisluku. Se voi olla positiivinen tai negatiiviinen, eli voimme kiertää ympyrää kumpaan suuntaan tahansa.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö

Trigonometrisiä yhtälöitä käsitellään kuten muitakin yhtälöitä. Pyritään ensin saattamaan yhtälö muotoon sin(x)=a

Taulukosta saamme ensimmäisen kulman, jolla yhtälö ratkeaa. Se on x=𝜋/3 ja toinen kulma on x=𝜋-𝜋/3=2𝜋/3, joten yhtälön ratkaisut ovat

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö

Kulmat, joilla sini saa kyseiset arvot ovat 𝜋/4 + n2𝜋 ja 3𝜋/4 + n2𝜋. Tällöin saadaan

Kun molemmat yhtälöt jaetaan kahdella, saadaan ratkaistua x

Yhtälöä ratkaistaessa on hyvä huomioida, että jakso tulee jakaa myös. Aivan kuten missä tahansa yhtälössä, kaikki termit jaetaan.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö

Muokataan yhtälö ensin muotoon cos(x)=a

Laskimella kulma, jolle kosini saa arvon 1/3 on 1,2309.... Yhtälön ratkaisut ovat

missä n on jokin kokonaisluku.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälöt

a-kohdassa kulmien tulee olla yhtäsuuret tai suplementtikulmat.

Näistä yhtälöistä voimme ratkaista kulman x. Viedään kaikki x:t yhtälöiden vasemmalle puolelle.

n on jokin kokonaisluku ja se pitää sisällään sekä negatiiviset, että positiiviset kokonaisluvut, joten voimme esittää ensimmäisen vastauksen ilman miinusmerkkiä.

b-kohdan yhtälö voidaan muokata muotoon

Tangentti ei ole määritelty kulmilla 𝜋/2+n𝜋, missä n on jokin kokonaisluku. Eli kulmilla, joissa kosini saa arvon 0. Tangentin jakso on 𝜋, joten yhtälön ratkaisu on

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö

Muokataan yhtälöä siten, että siellä on vain siniä tai kosinia. Trigonometrian peruskaavaan mukaan

Sijoitetaan tämä yhtälöön.

Saadaan toisen asteen yhtälö. Merkitään sin(x)=t

Takaisin sijoiteuksella saadaan sin(x)=1/2 tai sin(x)=2. Jälkimmäinen ei kelpaa, sillä sini saa arvot vain -1 ja 1 väliltä. Tällöin vain sin(x)=1/2 kelpaa, joten ratkaisut ovat