Funktion muutosnopeudessa selvitettiin, että keskimääräinen muutosnopeus välillä [a,b] on

Tämän avulla voimme tutkia hetkellistä muutosnopeutta kohdassa a, kun viemme luvun b äärimmäisen lähelle lukua a. Eli haemme raja-arvon, kun b lähestyy lukua a.

Esimerkki 1

Määritetään funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa 4

Valitaan funktion kuvaajalta piste B, joka on pisteen A jälkeen. Merkitään tätä kohtaa kirjaimella x. Pisteen y-koordinaatti on tällöin f(x).

Tuodaan piste mahdollisimman lähelle pistettä A

Lasketaan muutamia arvoja eri x:n arvoilla lähellä pistettä 4.

Kun x lähestyy lukua 4, muutosnopeuden arvot näyttäisivät lähestyvän arvoa 6. Määritetään muutosnopeuden raja-arvo, kun x lähestyy lukua 4.

Tällöin saamme tangentin kulmakertoimen kohdassa 4

Hetkellinen muutosnopeus kohdassa 4 on siis 6. Tämä on funktion derivaatta kohdassa 4.

Mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa, funktio on derivoituva kohdassa a. Tätä kutsutaan erotusosamäärän raja-arvoksi.

Esimerkki 2

Määritä funktion g derivaatta kohdassa 2.

Ratkaisu

Määritetään erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 2

Funktion g derivaatta kohdassa 2 on -1.