Avaruusgeometria

Kulma avaruudessa

Esimerkki 1

Lasketaan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän sekä pohjan välinen kulma.

Ensin tulee laskea pohjan lävistäjä. Se saadaan pythagoraan lauseella.

Vain positiivinen kelpaa, koska kyseessä on pituus. Nyt saamme muodostettu suorakulmaisen kolmion, jossa kateetit ovat pohjan lävistäjä sekä korkeus särmä ja hypotenuusa on avaruuslävistäjä.

Lieriö

Lieriö on kappale, jonka pohjat ovat samanmuotoiset. Lieriön korkeus on kohtisuora etäisyys pohjien välillä. Suoran lieriön vaippa avattuna muodostaa suorakulmion, jonka toinen sivu on korkeus ja toinen sivu pohjan piiri. Tilavuus saadaan kun kerrotaan pohjan pinta-ala korkeudella.

Lieriö on suora lieriö, jos sen akseli on kohtisuorassa pohjia vastaan.

Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. Tällöin sen tilavuus ja vaipan ala saadaan seuraavasti.

Esimerkki 2

Suoran ympyrälieriön pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 38 cm. Laske lieriön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala neliösenttimetreinä.

Koska 1 dm³ =1 l, muutetaan mitat desimetreiksi. 20 cm = 2 dm ja 38 cm=3,8 dm. Pohjan säde on 1 dm.

Tilavuus on siis 12 litraa.

Kokonaispinta-alaan kuuluu vaipan ala sekä kaksi pohjan alaa.

Mikäli lieriön pohjana on säännöllinen monikulmio, kutsutaan tätä särmiöksi. Esimerkissä 1 on lieriö, jonka pohja on suorakulmio. Tällöin se on suorakulmainen särmiö.

Kartio

Kartio on kappale, jonka pohjan reunoilta lähtevät sivujanat yhdistyvät samassa pisteessä. Kartion tilavuus on kolmososa vastaavakorkuisen lieriön tilavuudesta.

Kartio on suora, mikäli pohjan keskipiste on korkeusjanan toinen päätepiste.

Yleisin tarkastelun kohteena oleva kartio on suora ympyräkartio.

Kartion tilavuus

Suoran ympyräkartion vaippa tasoon avattuna muodostaa ympyräsektorin, jonka säteenä on kartion sivujana s. Haetaan sektorin ala. Sektorin kaaren pituus suhteessa koko ympyrän kaareen on yhtä suuri kuin pinta-alojen suhde.

Katkaistu kartio muodostuu kartiosta, jonka yläosasta on leikattu osa pois. Poistettu osa on yhdenmuotoinen vastaavan kokonaisen kartion kanssa.

Esimerkki 3

Suoran ympyräkartion pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 50 cm. Laske kartion tilavuus ja vaipan ala.

Ratkaistaan sivujana s pythagoraan lauseen avulla.

Lasketaan tilavuus ja vaipan pinta-ala.

Pallo

Esimerkki 4

Helsingin sijainti on 60° pohjoista leveyttä. Kuinka kaukana päiväntasaajasta Helsinki sijaitsee? Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km. Kulma Helsingin ja päiväntasaajan välillä on siis 60°. Ratkaistaan vastaavan kaaren pituus. Merkitään kysytty etäisyys E.