Binomijakauma

Binomijakauma on toistokokeen tulosten jakauma. Jos satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa, voidaan sitä merkitä

Tässä n on toistojen lukumäärä ja p on todennäköisyys tapahtumalle yhdessä toistossa.

Binomijakauman odotusarvo E ja keskihajonta D

Esimerkki 1

Heitetään noppaa 3 kertaa. Määritetään satunnaismuuttujan jakauma ja odotusarvo tapahtumalle "Silmälukujen 6 määrä kolmella heitolla"

Ratkaisu

Kyseessä on toistokoe, jossa toistojen määrä n=3 ja yksittäisen tapahtuman todennäköisyys p=1/6.

Silmälukuja 6 voi tulla 0, 1, 2 tai 3 kappaletta kuudella heitolla. Todennäköisyydet

Odotusarvo

Esimerkki 2

Arvioidaan, että 1% kokonaisväestöstä täyttää psykopatian kriteerit.

a) Mikä on todennäköisyys, että lentokoneessa, jossa on 420 matkustajaa on tasan 5 psykopaattia?

b) Määritä satunnaismuuttujan odotusarvo.

Kyseessä on toistokoe, jossa on 5 toistoa. Yhden toiston todennäköisyys on 0,01

a) Todennäköisyys

b) Satunnaismuuttujan odotusarvo

Esimerkki 3

Olkoon

Havainnollistetaan satunnaismuuttujan jakaumaa pylväskuviolla. Lasketaan ensin todennäköisyydet toistokokeen kaavaa käyttäen ja muodostetaan jakauma.

Koska todennäköisyys on pienempi kuin 0,5, jakauma on painottunut vasemmalle puolelle.

Esimerkki 4

Oletetaan, että eräässä kunnassa syntyy ensi vuonna 60 lasta. Lasten sukupuolet ovat toisistaan riippumattomia, ja pojan syntymistodennäköisyys on 0,513. Mitä jakaumaa tyttöjen ja poikien lukumäärät noudattavat? Mikä on poikien ja mikä tyttöjen lukumäärän odotusarvo? Millä todennäköisyydellä syntyy täsmälleen yhtä monta tyttöä ja poikaa?

(YO1999K Pitkä matematiikka)

Ratkaisu

Syntymää voidaan pitää toistokokeena, eli lukumäärät noudattavat binomijakaumaa. Merkitään tyttöjen lukumäärää X ja poikien Y

Lasketaan odotusarvot

Jotta syntyy täsmälleen yhtä monta tyttöä ja poikaa, molempia tulee syntyä 30. Riittää laskea toinen todennäköisyys. Lasketaan todennäköisyys, että syntyy 30 tyttöä.