Sovellukset

Esimerkki 1

Rautalangasta muotoillaan suorakulmion muotoinen kehys, jonka pinta-ala halutaan mahdollisimman suureksi. Rautalankaa on käytössä 40 cm. Mitkä ovat kehyksen mitat?

Ratkaisu

Hahmotellaan tilanne ja muodostetaan pinta-alalle lauseke.

Suorakulmion pinta-ala on A=xy. Jotta voimme derivoida tämän tulee siinä olla vain yksi muuttuja. Piiri on 40 cm, joten

2x+2x=40, josta saadaan y=20-x

Nyt pinta-alan lauseke on

Pinta-alan lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten suurimman arvon se saa huipussaan, eli derivaatan nollakohdassa.

Kehyksen pinta-ala on suurin, kun sivun pituus on 10 cm, eli kehyksestä tulee neliö.

Esimerkki 2

Liisa-Petterin rautatieyhtiö Vetelät runoilijat, lyhyemmin VR, suunnitteli lippuhintojen muuttamista. Peruslippu maksoi 10€ ja matkustajia oli päivässä 1200. Konsulttiyhtiö Kaikki rahat putsataan, lyhyemmin KRP, johtajansa Klaus-Heidin johdolla oli tehnyt tutkimuksen, jonka mukaan euron hinnankorotus vähensi matkustajia 50 päivässä. Vastaavasti euron hinnan alennus lisäsi matkustajia 50 päivässä. Mikä kannattaisi asettaa tällöin lipun hinnaksi, että päivämyynnin arvo olisi suurimmillaan?

Ratkaisu

Muodostetaan lauseke päivämyynnille.

Merkitään euron hinnankorotuksia muuttujalla x, tällöin lipun hinta on 10+x ja matkustajien määrä 1200-50x

Päivämyynti

Päivämyynnin lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja suurimman arvonsa se saa huipussa, eli derivaatan nollakohdassa

Eli, kun lipun hinta on 10€+7€=17€ on päivämyynnin arvo suurin. Tällöin matkustajia on 850 ja päivämyynnin arvo 14450€