Ympyrä
Pinta-ala ja kehän pituus
Esimerkki 1
Ympyrän kehän pituus on 12. Määritä ympyrän pinta-ala.
Esimerkki 2
Ympyrän halkaisija on 20. Määritä ympyrän pinta-ala.
Esimerkki 3
Ympyrän kehän pituuteen lisätään yksi metri. Kuinka paljon ympyrän säde kasvaa?
Olkoon säde alussa r. Merkitään uutta sädettä r+x ja lisätään kehän pituuteen 1.
Säde kasvaa siis 0,16 metriä, eli 16 cm.
Ympyräsektori ja segmentti
Ympyräsektorin ja ympyrän osien suhteet ovat yhtä suuret. Sektorin kulman suhde koko ympyrän kulmaan on yhtä suuri kuin sektorin pinta-alan suhde koko ympyrän pinta-alaan, joka on yhtä suuri kuin sektorin kaaren pituus ympyrän kehän pituuteen.
Kokeile
Voit muuttaa ympyrän sädettä vetämällä punaisesta kehän pisteestä. Sektorin kokoa saat muutettua liikuttamalla sinistä kehän pistettä.
Esimerkki 4
Määritä sektorin pinta-ala ja kaaren pituus.
Ympyrän säde on 2,5 ja keskuskulma 80°
Esimerkki 5
Laske segmentin pinta-ala ja piiri.
Segmentin pinta-ala saadaan, kun lasketaan sektorin ala ja vähennetään siitä tasakylkisen kolmion ala. Kolmion pinta-alan laskeminen kahden sivun ja näiden välisen kulman avulla on käyty läpi pinta-ala -osiossa.
Segmentin piiri koostuu tasakylkisen kolmion kannasta sekä sektorin kaaresta. Määritetään muodostuvan suorakulmaisen kolmion avulla haettu kanta. Merkitään haetun kannan puolikasta kirjaimella x.
(Keskuskolmion kannan voi laskea myös kosinilauseella)
Nyt voimme laskea segmentin piirin.
Ympyrän tangentti
Ympyrän tangentit sivuavat ympyrää yhdessä kohtaan ja ovat aina kohtisuorassa sädettä vastaan.
Esimerkki 6
Kuinka kaukana piste A on ympyrästä?
Pisteestä A piirretään jana ympyrän keskipisteeseen. Tämä jana on muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Kun siitä vähennetään säde, saadaan pisteen A etäisyys ympyrästä.
Esimerkki 7
Liisa-Petterin ilmapallo pääsi karkuun. Ilmapallon läpimitta oli 10 metriä. Kuinka kaukana pallo oli, kun se näkyi 18° kulmassa?
Hahmotellaan tilanne.
Ilmapallon säde on 5 ja muodostuvan suorakulmaisen kolmion sädettä vastassa olevan kulman suuruus 9° . Etäisyys pallosta on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa vähennettynä ilmapallon säteellä.
Keskuskulma ja kehäkulma
Kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Kaikki kehäkulmat, joista näkyy sama ympyrän kaari, ovat yhtäsuuria.
Oheisessa ympyrässä kulma 𝛂 on myös 35° . Kehäkulmia vastaava keskuskulma 𝛽 =70° .
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Ympyrä, jonka säde on r, sivuaa kulman toista kylkeä ja erottaa toisesta kyljestä säteen pituisen jänteen. Ympyrän keskipiste on kulman sisällä ja etäisyydellä 3r sen kärjestä. Laske kulma 0,10:n tarkkuudella.
Syksy 70
36,2 astetta
2. Yksikköympyrän kehän pituus on 2π. Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan luvun 2π likiarvoon.
Syksy 2018
a) -4,5%
b) -1,1%
3. Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat A, B ja C ja niiden säteet samassa järjestyksessä 3, 3 ja 2. Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen? Anna vastauksena tämän ympyrän säteen tarkka arvo.
Kevät 2016
r=2/5
4. Kaupungeilla A ja B on kummallakin keskustassaan paikallisradioasema, jonka kuuluvuusalue ulottuu 60 kilometrin päähän asemasta joka suuntaan.
Asemien välimatka on 102km. Autoilija, joka ajaa suoraa tietä kohti kaupunkia B, saapuu kaupungin A kuuluvuusalueelle.
Tämän jälkeen hän ajaa 38km, ennen kuin A:n aseman lähetys lakkaa kuulumasta. Onko hän tällöin jo kaupungin B aseman kuuluvuusalueelle?
Syksy 1998
Ei ole
5. Annetun ympyrän pinta-ala on A. Mikä on ympyrän ympäri piirretyn neliön ala? Entä ympyrän sisään piirretyn neliön ala?
Syksy 2006
Ympäri piirretty 4A/π , sisälle piirretty 2A/π
6. Kolmion sivujen pituudet ovat a − 1, a ja a + 1. Määritä a siten, että kolmio on suorakulmainen. Määritä kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde.
Syksy 2004
a=4, r=5/2
7. Tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrä, joka kulkee kolmion kärkipisteiden kautta. Kolmion sisään asetetaan toinen ympyrä siten, että se sivuaa kolmion sivuja. Kuinka monta prosenttia edellisen ympyrän ala on suurempi kuin jälkimmäisen ympyrän ala?
Kevät 2003
300% suurempi
Osion perustehtävät