Sovellukset

Esimerkki 1

Liisa-Petterin kesämökin rannassa vuorovesi muutti veden syvyyttä noin 12 tunnin jaksoissa. Liisa-Petteri mittasi suurimman syvyyden eräänä yönä 0.30 ja se oli 1,5 metriä. Aamulla 6.30 veden syvyys oli vain 0,3 metriä.

Merenrantahuvilansa vuorovesi noudatti Liisa-Petterin tutkimusten mukaan kaavaa

missä t ilmaisee ajan tunteina keskiyöstä. Määritetään funktiosta a, b, c ja d


Vakio a

Vakio a ilmaisee funktion amplitudin. Sinin arvot vaihtelevat välillä [-1,1] ja kertomalla siniä jollain luvulla, muuttaa se pienintä sekä suurinta arvoa saman verran. Vakio a on siis puolet suurimman ja pienimmän arvon erotuksesta.

Vakio b

Vakio b muuttaa funktion perusjaksoa. Sinin perusjakso on 2𝜋, joten

Vuoroveden jakso on 12 tuntia. Tällöin saadaan

Vakio d

Vakio d liikuttaa kuvaajaa pystysuunnassa. Funktion aplitudi on 0,6 ja suurin arvo on 1,5 sekä pienin 0,3, tulee kuvaajan tasapainoaseman olla kohdassa 0,9

1,5-0,6=0,9

0,3+0,6=0,9

Tällöin vakio d=0,9

Vakio c

Vakio c liikuttaa kuvaajaa vaakasuunnassa.

Tiedämme, että puolituntia keskiyön jälkeen veden korkeus on 1,5 metriä, eli f(0,5)=1,5 ja funktiomme on nyt

Rajataan ratkaisu perusjaksolle oli vakio c kuuluu välille [0,12]

Tästä saamme laskimella vakion c arvoksi noin 9,5.

Funktio, joka määrittää veden korkeuden t tunnin kuluttua keskiyöstä, on

Esimerkki 2

Suoran ympyräkartion muotoisen teltan sivun s pituus on 5 metriä. Määritä maatason ja sivun s välisen kulman suuruus siten, että teltan tilavuus on mahdollisimman suuri.

Merkitään kysyttyä kulmaa x. Ilmaistaan korkeus h ja pohjan säde r kulman x avulla. Korkeusjana ja pohjan säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kulman tulee olla välillä ]0, 𝜋/2[

Suoran ympyräkartion tilavuus

Tilavuus saa suurimman arvonsa samassa kohdassa kuin funktio

Kerroin 125𝜋/3 ei vaikuta kulmaan, jolla suurin arvo saavutetaan.

Derivoidaan

Derivaatan nollakohdat

Voimme käyttää tulon nollasääntöä

Nämä ratkaisut eivät kelpaa, sillä ne eivät ole välillä ]0,𝜋/2[

Toisesta tulon tekijästä saadaan

Koska olemme välillä ]0,𝜋/2[, meille kelpaa vain positiivinen arvo tangentille

Funktiolla on ääriarvokohta kun x=0,615

Tämä on maksimikohta, sillä

Tällöin teltan suurin tilavuus tulee kulmalla

Tehtävän olisi voinut ratkaista myös käyttäen suoraan kulmia radiaanien sijaan.