Jatkuva todennäköisyysjakauma

Jatkuva muuttuja on esimerkiksi ikä tai aika tai vaikka asunnon pinta-ala. Tällaiset muuttujat saavat äärettömän monta arvoa, eikä kaikkia mahdollisia arvoja voida luetella. Mitä tarkemmin asiaa mittaa sitä tarkempia arvoja muuttuja saa. Pystytkö luettelemaan kaikki mahdolliset reaaliluvut lukujen 0 ja 1 välissä? Valitset mitkä tahansa kaksi vierekkäistä lukua, näiden välistä löytyy aina lukuja.

Tiheysfunktio

Jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voi esittää taulukolla, joten se yleensä esitetään käyttäen tiheysfunktiota.

Funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä [a,b] on yhtä suuri kuin todennäköisyys tällä välillä.

Kokonaistodennäköisyys on aina 1, joten tiheysfunktion ja x-akselin rajaamaan alueen pinta-ala on aina 1.

Tiheysfunktio toteuttaa seuraavat ehdot.

  • Funktio on aina positiivinen kaikilla x:n arvoilla.
  • Funktion kuvaajan ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala on 1.
  • Todennäköisyys välillä [a,b] on aina yhtä suuri kuin vastaavan alueen pinta-ala.

Esimerkki 1

Määritellään funktio f(x) seuraavasti

Määritetään vakio a siten, että funktio f on tiheysfunktio.

Funktio on aina positiivinen, joten pitää määrittää, että sen pinta-ala välillä [0,2] on 1.

Lasketaan integraali

Ratkaistaan a, kun pinta-ala on 1

Kertymäfunktio

Jakaumaa voidaan kuvata myös kertymäfunktiolla. Tämän funktion arvo ilmoittaa siihen asti kerääntyneen todennäköisyyden määrän.

Kertymäfunktio saadaan tiheysfunktiosta

Esimerkki 2

Määritetään esimerkin 1 tiheysfunktiolle kertymäfunktio. Koska funktio on 0, kun x on pienempää kuin nolla, voidaan integroida välillä [0,t]

Vaihdetaan muuttujaksi x ja koska kaikki todennäköisyys on kertynyt kohtaan t=2, saadaan kertymäfunktioksi

Esimerkki 3

Erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on

a) Piirrä tiheysfunktion kuvaaja.

b) Laske todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3)

(YO2003S Pitkä matematiikka)

Ratkaisu

a) Piirretään kuvaaja geogebralla.

b) Määritetään todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3)

Kuvaaja on verrattain helppo, joten ei ole tarpeen integroida. Määritetään pinta-alat kolmioiden avulla.