2. asteen sovellukset

Toisen asteen yhtälön sovellukset tarkoittavat sanallista ongelmia, joista saadaan muodostettua toisen asteen yhtälö. Rakentamisessa käytetään paljon paraabeleja, esimerkiksi sillan kaaret ovat paraabelin muotoisia.

Esimerkki 1

Liisa-Petteri tilasi sillan netistä, jotta hän pääsisi vierailemaan serkkunsa Klaus-Heidin luona viereisellä saarella.

Kiinalaisessa nettikaupassa sillat olivat merkitty vain paraabelein, joiden yksikkönä oli metri. Minkä sillan Liisa-Petterin tulisi tilata, kun saarien välille tarvitaan 30 metriä pitkä silta?

Kaupassa yksikkönä on metri, joten nollakohtien väli on sillan pituus. Ensimmäisen sillan nollakohdat ovat x=0 tai x=30, toisen nollakohdat x=0 tai x=32 ja kolmannen x=0 tai x=20.

Liisa-Petterin tulisi valita ensimmäinen silta.

Klaus-Heidi ei kuitenkaan uskalla mennä korkeille silloille, joten Liisa-Petterin tuli laskea sillan korkeus.

Sillan korkein kohta on paraabelin huipussa. Huippu taas on nollakohtien puolessa välissä, eli kun x=15.

Tällöin korkeus on 4,5 metriä

Esimerkki 2

Liisa-Petterillä oli tontti, jonka leveys oli 80 metriä ja pituus 120 metriä. Hän osti tonttiinsa lisätilaa siten, että leveys ja pituus kasvaa yhtä paljon. Uuden tontin pinta-ala on 11700 m2. Mitkä ovat uuden tontin mitat?

Hahmotellaan tilanne ja merkitään lisäystä kirjaimella x. Uuden tontin pinta-alaksi saadaan tällöin (80+x)(120+x)=11700. Sulut avattuna ja sievennettynä tämä on

Toisen asteen yhtälö, jossa a=1, b=200 ja c=-2100. Sijoitetaan kaavaan

Ratkaisut x=-210 tai x=10. Uudet mitat ovat siis leveys 90 metriä ja pituus 130 metriä.

Vanhoja YO-tehtäviä

1. Kun muutamien henkilöiden kesken jaettiin 247 mk, tuli jokainen saamaan 6 mk enemmän kuin oli henkilöitä. Montako henkeä oli?

1885

13 henkeä

2. Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 192 euroa (€) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille. Jos jäseniä olisi 2 enemmän, jokainen saisi 8 € vähemmän. Montako jäsentä yhtyeessä on?

Kevät 2000

Kuusi jäsentä

3. Suoran maantietunnelin poikkileikkaus on paraabelin muotoinen. Tunnelin korkeus on 7,50 m ja leveys tienpinnan tasossa 8,10 m. Kuinka korkea, 260 cm leveä rekka-auto mahtuu ajamaan tunnelin läpi keskiviivan oikealla puolella pysyen?

Syksy 1997

4,40 metriä

Osion perustehtävät