Suora ja taso

missä s on suoran nimi, OA suoralla olevan pisteen paikkavektori, a suoran suuntavektori ja n jokin luku. Eli liikutaan origosta suoran pisteeseen A, jonka jälkeen suoran suuntavektorin avulla pääsemme suoran jokaiseen pisteeseen.

Yllä oleva suoran yhtälö on suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suora muodostuu parametrin n käydessä läpi kaikki reaaliluvut.

Avaruuden suoran määrittää yksikäsitteisesti joko kaksi avaruuden pistettä tai yksi piste sekä jokin suoran suuntavektori

Esimerkki 1

Suora kulkee avaruudessa pisteiden A(1,3,2) ja B(2,4,1) kautta. Määritetään suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on vektori AB.

Esimerkki 2

Onko piste (4,6,-1) edellisen esimerkin suoralla?

Muodostetaan suoran s komponenttimuotoinen parametriesitys

Yhtälöryhmä toteutuu, kun n=3. Piste on siis suoralla.

Esimerkki 3

Tutki leikkaako suora, joka kulkee pisteiden (0,0,0) ja (0,5,5) kautta suoran, joka kulkee pisteiden (-1,2,2) ja (3,-2,-2)

Merkitään suorat yhtä suuriksi

Vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, joten saadaan yhtälöryhmä

Löydettiin kertoimet m ja n, joten suorilla on leikkauspiste. Tällöin pisteen E paikkavektori on

joten leikkauspiste on E(0,1,1).

Alapuolella on taso, joka kulkee pisteiden A(−2,2,2), B(1,1,0) ja C(2,1,2) kautta. Tason suuntavektorit AC (punainen) ja AB (vihreä).

Voi käännellä kuvaa hiirellä.

Esimerkki 4

Millä ehdolla piste P(x,y,z) on tasossa?

Jotta piste on tasossa, seuraavan yhtälön täytyy toteutua

missä n ja t ovat jotain lukuja. Piste on tasossa vain ja jos vain löytyy luvut n ja t siten, että yhtälöryhmä toteutuu.

Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä n ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön, josta ratkaistaan t.

Sijoitetaan ratkaistut n ja t ensimmäiseen yhtälöön

Viedään kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle ja kerrotaan nimittäjät pois.

Tämä on tason normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki tason pisteet toteuttavat tämän yhtälön.

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.