Suora ja taso

Suora avaruudessa voidaan ilmoittaa vektoreiden avulla. Kun tunnetaan suoralta jokin piste ja jokin suoran suuntavektori, on suora vektoreilla ilmoitettuna

missä s on suoran nimi, OA suoralla olevan pisteen paikkavektori, a suoran suuntavektori ja n jokin luku.

Esimerkki 1

Suora kulkee avaruudessa pisteiden A(1,3,2) ja B(2,4,1) kautta. Määritetään suoran vektorimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on vektori AB.

Suoran yhtälö

Esimerkki 2

Onko piste (4,6,-1) edellisen esimerkin suoralla?

Muodostetaan suoran s komponenttimuotoinen parametriesitys

Saadaan yhtälöryhmä

Piste on suoralla vain ja jos vain löytyy luku n siten, että yhtälöryhmä toteutuu. Sijoitetaan piste (4,6,-1) yhtälöryhmään.

Yhtälöryhmä toteutuu, kun n=3. Piste on siis suoralla.

Tason määrää kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Tason suuntavektorit saadaan pisteiden välisistä vektoreista.

Esimerkki 3

Taso kulkee pisteiden A(−2,2,2), B(1,1,0) ja C(2,1,2) kautta. Millä ehdolla piste P(x,y,z) on tasossa?

Määritetään tason vektorimuotoinen esitys.

Pisteiden paikkavektorit ja tason suuntavektorit

Tason vektorimuotoinen esitys

Saadaan yhtälöryhmä

missä n ja t ovat jotain lukuja. Piste on tasossa vain ja jos vain löytyy luvut n ja t siten, että yhtälöryhmä toteutuu.