LOPS21 MATERIAALEIHIN TÄSTÄ:

Trigonometriset funktiot

Jo yksikköympyrän avulla huomattiin, että sini ja kosini saa arvot välillä [-1,1]. Mikäli sini ja kosini määritellään funktioiksi sin(x) ja cos(x), on näiden funktioiden arvojoukko [-1,1]

Funktion f(x)=sin(x) kuvaaja

Funktion f(x)=cos(x) kuvaaja

Sekä sinin, että kosinin jakso on 2𝜋, eli funktion arvot toistuvat 2𝜋 välein.

Kuvassa on f(x)=sin(x) kuvaaja. Punaisella on piirretty pääjakso, eli väli [0,2𝜋]. Tämän jälkeen arvot toistuvat välillä [2𝜋,4𝜋] ja jatkavat toistoa aina 2𝜋 välein. Kuvaajasta nähdään, että sini saa arvon 0 kohdassa 𝜋 ja 2𝜋. Sinin arvo on 1 kohdissa 𝜋/2 ja 3𝜋/2

Kuvaajan arvot vastaavat kehäpisteiden arvoja yksikköympyrässä.

Sini ja kosini saavat kaikki arvot välillä [-1,1]. Mikäli kerromme funktiota jollakin luvulla, muuttaa se funktion arvojoukkoa. Alapuolella kuuvaajia funktioista, joita on kerrottu jollain luvulla.

f(x)=2sin(x)

Mikäli sinillä on kertoimena 2, on funktion arvojoukko [-2,2]

f(x)=3cos(x)

Mikäli kosinilla on kertoimena 3, on funktion arvojoukko [-3,3]

f(x)=0,5sin(x)

Mikäli sinillä on kertoimena 0,5, on funktion arvojoukko [-0,5;0,5]

Mikäli kerroin on muuttujassa, vaikuttaa se funktion jaksoon.

f(x)=sin(2x)

Kertomalla muuttuja kaksinkertaiseksi, jakso puolittuu.

Nyt arvot toistuvat 𝜋 välein.

f(x)=sin(0,5x)

Kertomalla muuttuja puolikkaalla, jakso kaksinkertaistuu.

Nyt arvot toistuvat 4𝜋 välein.

Tangentin jakso on 𝜋. Tangentti määriteltiin sini jaettuna kosinilla, joten tangentti ei ole määritelty kosinin nollakohdissa. Tangentin kuvaaja onkin epäjatkuva ja lähestyttäessä kosinin nollakohtaa tangentin arvot kasvavat äärettömiksi. Tangentilla ei ole suurinta eikä pienintä arvoa. Tangentin arvojoukko on koko reaalilukujen joukko.