Aritmeettinen lukujono mallina

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jossa kahden peräkkäisen jäsenen välinen erotus on vakio

Yksinkertaisemmin sanottuna seuraava jäsen saadaan, kun edelliseen lisätään joku luku. Ja tämä luku on vakio, eli pysyy samana koko ajan.

2,5,8,11,14,...

Yläpuolella on aritmeettinen jono, sillä kahden peräkkäisen jäsenen erotus on 3. Tätä luku merkitään kirjaimella d. Jono jatkuisi 17,20,23,26,...

Esimerkki 1

Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen jäsen 6. Määritä jonon kaksi seuraavaa jäsentä.

Aritmeettisessa lukujonossa meillä on luku d, joka lisätään jäseneen, jotta saadaan seuraava jäsen. Toiseen jäseneen päästäksemme lisäämme ensimmäiseen jäseneen luvun d. Kolmanteen jäseneen päästäksemme lisäämme taas luvun d, eli ensimmäiseen jäseneen lisäämme kaksi kertaa luvun d, niin saamme kolmannen jäsenen. Neljäs jäsen saadaan, kun lisätään d kolme kertaa ensimmäiseen jäseneen. Ja niin edelleen.

Eli saamme minkä tahansa jäsenen, kun lisäämme ensimmäiseen jäseneen luvun d yhden kerran jäsenen järjestyslukua vähemmän.

Esimerkki 2

Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen jäsen 6. Määritä jonon kymmenes jäsen.

Aritmeettisen jonon summa voidaan laskea, kun tiedetään jonon ensimmäinen yhteenlaskettava jäsen, viimeinen yhteenlaskettava jäsen ja yhteenlaskettavien jäsenten lukumäärä.

Aritmeettinen lukujono mallina

Esimerkki 3

10000 € lainaa lyhennetään tasalyhennyksin vuoden välein. Yhden lyhennyksen suuruus on 1000€. Lainan korko on 2%, joka maksetaan lyhennyksen yhteydessä. Kuinka paljon korkoa maksetaan koko laina-aikana?

Ensimmäinen korko maksetaan koko 10000€ lainapääomasta. Laina lyhenee 1000€ ja seuraavana vuonna pääomaa on jäljellä 9000€, josta korko maksetaan. Vuoden kuluttua 8000€ jne.

Taulukoidaan korkoja.


Huomataan, että koron määrä pienenee tasaisesti 20€ vuodessa. Koska pääoma pienenee tasaisesti 1000€ vuodessa, pienenee maksettava korko 20€ vuodessa. Korkojen määrä muodostaa siis aritmeettisen jonon. Maksuja on 10 kpl. Ensimmäinen maksettava korko on 200€ ja viimeinen maksettava korko on 20€, eli 2% viimeisenä vuonna jäljellä olevasta pääomasta 1000€.

Korkoa maksetaan koko laina-ajalta 1100€.

Esimerkki 4

Pihatien reunaan on istutettu 20 koivua tasavälein siten, että neljäs koivu on 35 metrin etäisyydellä tien alusta ja kymmenes koivu 65 metrin etäisyydellä tien alusta. Pihatien pituus on 120 metriä. Kuinka kaukana on ensimmäinen koivu tien alusta?

Koska koivut on istutettu tasavälein, muodostuu niiden etäisyyksistä tien alusta aritmeettinen jono. Neljäs jäsen on siis 35 ja kymmenes jäsen 65.

Käytettän yleisen jäsenen kaavaa, joka voidaan yleistää alla olevalla tavalla kahden jonon jäsenen välille

Tällöin saadaan

Sijoitetaan kymmenes ja neljäs jäsen

Koivujen välimatka on siis viisi metriä. Nyt voimme ratkaista ensimmäisen jäsenen, joka antaa vastauksen kysymykseen.

Ensimmäinen koivu on siis 20 metrin päässä tien alusta.