Trigonometristen funktioiden derivaatat
Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini, eli D sin(x)=cos(x) ja D cos(x)=-sin(x)
sin(x)
D sin(x)
cos(x)
D cos(x)
Esimerkki 1
Määritetään funktioiden derivaattafunktiot
Derivaatat ovat
Esimerkki 2
Määritä derivaatan arvo kohdassa 𝜋
Funktio koostuu kahden funktion tulosta. Käytetään tulon derivoimiskaavaa
Sijoitetaan derivaattaan 𝜋
Esimerkki 3
Määritä derivaattafunktion nollakohdat
Derivoidaan
Nollakohdat
missä n on jokin kokonaisluku.
Esimerkki 4
Määritä funktion ääriarvot
Derivoidaan funktio. Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini. Lisäksi funktiossa termi, jossa on kosinin neliö on yhdistetty funktio.
Nollakohdat
Kosini on nolla kulmilla
Sini on yksi kulmilla
Derivaatta on positiivinen aina ennen 𝜋/2 kulman määräämiä nollakohtia ja negatiivinen tämän jälkeen ennen 3𝜋/2 määräämiä nollakohtia
g'(0)=2
g'(𝜋)=-2
Joten kohdissa 𝜋/2 + n2𝜋 funktiolla on maksimikohdat ja kohdissa 3𝜋 /2 + n2𝜋 funktiolla on minimikohdat.
Ääriarvot
Kuvassa funktion g(x) kuvaaja vihreänä ja derivaatan g'(x) kuvaaja punaisena.
Tangentin derivaatta
Tangentti määriteltiin
Tällöin tangentin derivaatta saadaan osamäärän derivoimissäännön avulla
Tangentin derivaatta ei ole määritelty kosinin nollakohdissa. Aivan kuten tangenttikaan.