Sovelluksia

Tässä kappaleessa tutustutaan juuri-, eksponentti- ja logaritimifunktioihin liittyviin sovellustehtäviin

Esimerkki 1

Erään nettisivuston kävijämäärä kasvaa keskimäärin 1,7 prosenttia viikossa.

a) Kuinka monta prosenttia kävijämäärä kasvaa vuodessa?

b) Kuinka monen vuoden kuluttua kävijämäärä on kasvanut satakertaiseksi?

c) Jos tarkastelun jakson alussa sivustolla on 1200 kävijää mikä on kävijämäärän kasvunopeus kahden vuoden kuluttua?

Merkitään kävijämäärää tarkastelujakson alussa kirjaimella a.

a) Vuoden kuluttua kävijämäärä on

Kävijämäärä on tullut 2,4-kertaiseksi. Kävijämäärä on siis kasvanut 140 prosenttia

b)

Kävijämäärä on tullut satakertaiseksi 273 viikon kuluttua eli noin viiden vuoden ja kolmen kuukauden kuluttua.

c) Derivoidaan kävijämäärän funktion lauseke

Kävijämäärä kasvaa kahden vuoden kuluttua noin 125 kävijällä viikossa.

Esimerkki 2

Tasakylkisen kolmion kylkien pituus on 3. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala.

Merkitään kolmion kannan puolikasta kirjaimella x. Muuttuja x voi vaihdella välillä [0,3] Ratkaistaan kolmion korkeus h ja muodostetaan kolmion pinta-alan lauseke.

Pinta-alan suurimman arvon määrittämiseksi muodostetaan funktion A(x) derivaatta ja määritetään derivaatan nollakohdat. Tässä voisi käyttää tulofunktion derivaatan kaavaa

(fg)’=f’g+g’f mutta esitetään tässä toinen ratkaisu. Viedään x neliöjuuren sisälle, jonka jälkeen riittää tarkastella neliöjuuren sisällä olevaa lauseketta

Nyt funktio A(x) saa suurimman arvonsa kun juuren sisällä oleva lauseke saa suurimman arvonsa. merkitään g(x):llä Juurrettavaa lauseketta ja ratkaistaan sen derivaatan nollakohdat

x ei voi olla negatiivinen, joten negatiivinen juuri voidaan jättää huomioimatta. Funktion A(x) suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteissä.