Tekijöihin jakaminen
Kun polynomi esitetään kahden tai useamman polynomin tulona, on polynomi jaettu tekijöihin. Tekijöihin jakaminen on hyödyllistä polynomeja käsiteltäessä. Usein se on jopa välttämätöntä ratkaisun saamiseksi.
Luvun jakaminen tekijöihinsä
Kun luku jaetaan tekijöihinsä, esitetään se alkulukujen tulona.
Polynomin jakaminen tekijöihinsä
Esimerkki 1
Yhteinen tekijä
Jaetaan polynomi tekijöihinsä ottamalla yhteinen tekijä
Molemmissa termeissä on yhteisenä tekijänä 4x, joten ottamalla sen yhteiseksi kertoimeksi jää kerrottavaksi x+2
Esimerkki 2
Binomin neliö
Jaetaan polynomi tekijöihinsä muodostamalla binomin neliö
Esimerkki 3
Summan ja erotuksen tulo
Jaetaan polynomi tekijöihinsä muodostamalla summan ja erotuksen tulo
Esimerkki 4
Ryhmittely
Jaetaan polynomi tekijöihinsä käyttämällä ryhmittelyä. Eli ryhmitellään termit siten, että saadaan sopivasti yhteiset tekijät.
Siirretään toisen ja ensimmäisen asteen termit jolloin saadaan yhteiset tekijät x sekä 2. Otetaan sulkulauseke yhteiseksi tekijäksi, jolloin polynomi on tulomuodossa. Lopussa on vielä summan ja erotuksen tulo.
Esimerkki 5
Nollakohtien avulla
Polynomi voidaan aina jakaa tekijöihinsä nollakohtiensa avulla. Esimerkiksi toisen asteen polynomille pätee
Jaetaan polynomi tekijöih nollakohtien avulla
a=1, b=-2 ja c=-8
Polynomi nollakohtien avulla tekijöiden avulla lausuttuna
Esimerkki 6
Sievennä murtolauseke
Osoittaja ja nimittäjä tulee olla tulomuodossa, jotta voimme supistaa. Jaetaan molemmat tekijöihinsä. Osoittajasta saadaan yhteinen tekijä ja nimittäjässä on summan ja erotuksen tulo
Harjoittele jakamaan kolmannen asteen polynomi tekijöihinsä
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Jaa trinomi tekijöihin, jotka ovat ensimmäistä astetta x: suhteen.
1886
(x-1)(11x+3)
2. Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa.
Summamuoto: ax² + bx + c.
Tulomuoto: a(x − x₁)(x − x₂).
a) Muokkaa polynomi 2(x − 6)(x − 9) summamuotoon.
b) Muokkaa polynomi x² + x − 12 tulomuotoon.
c) Osoita, että x₁x₂ = c/a , jos x₁ ja x₂ ovat polynomin ax² + bx + c nollakohdat.
Kevät 2018
a) 2x²-30x+108
b) (x+4)(x-3)
c) Vertaa tulo- ja summamuotoja
3. Jaa lauseke (x - 1)(x + 1) - (x + 1) ensi asteen tekijöihin
Syksy 1990
(x-2)(x+1)