Matemaattinen malli
Maailmaa pyritään jäsentämään ja mallintamaan erilaisia malleja käyttäen. Matemaattinen malli on eräs tapa. Mikäli huomataan, että jotkin asiat ovat riippuvaisia toisistaan, voimme löytää tätä riippuvuutta kuvaavan säännön ja rakentaa matemaattisen mallin.
Kun liikumme, huomataan kuljetun matkan ja käytetyn ajan välillä olevan selvä riippuvuus. Näin saadaan matemaattinen malli nopeudelle, joka on v=s/t. Eli nopeus on kuljettu matka jaettuna siihen kuluneella ajalla.
Yleensä matemaattinen malli on likiarvo tutkittavasta kohteesta ja se toimii tietyissä rajoissa.
Esimerkki 1
Liisa-Petteri tutki löytämäänsä meteoriittia. Hän mittasi sen massan ja tilavuuden ja sai seuraavanlaiset tulokset.
Liisa-Petteri syötti tulokset taulukkolaskentaohjelmaan. Pisteet näyttivät asettuvan lähes suoralle viivalle, joten hän sovitti niihin suoran.
Tämän suoran kulmakerroin on noin 3,2 ja se kuvaa tiheyttä. Tiheyden matemaattinen malli on massa jaettuna tilavuudella.
Esimerkki 2
Liisa-Petteri ja serkkunsa Klaus-Heidi matkasivat taksilla koteihinsa. Ensimmäisenä jäi Liisa-Petteri, jolloin taksimittari näytti 23,25 €. Tämän jälkeen Klaus-Heidi jatkoi omaan kotiinsa ja perillä taksimittari näytti 41,78 €. Liisa-Petterin kotiin oli matkaa 15 km ja Liisa-Petteriltä Klaus-Heidin kotiin oli vielä matkaa 17 km.
Mikä oli taksin aloitusmaksu ja mikä kilometrimaksu?
Ratkaisu
Taksimatkan hinta kasvaa lineaarisesti, joten muodostetaan suora kuvaamaan hintaa.
Suoralle saadaan kaksi koordinaatistopistettä (15;23,25) ja (32;41,78), eli ensimmäinen on Liisa-Petterin matka ja taksimittarin lukema, jälkimmäinen Klaus-Heidin koko matka ja taksimittarin lukema.
Sijoitetaan pisteet GeoGebraan ja asetetaan suora kulkemaan pisteiden kautta.
Suoran yhälö on y = 1,09x + 6,9
Tässä kulmakerroin on kilometrihinta, eli 1,09 €/km ja vakiotermi on aloitusmaksu, eli 6,9 €.
Esimerkki 3
Eräässä toisessa taksiyhtiössä on vain kilometrimaksu 1,24 € ja kahdelta ensimmäiseltä kilometriltä ei veloiteta.. Minkäpituinen matka tulee halvemmaksi kuin esimerkin 2 yhtiöllä?
Ratkaisu
Merkitään hintaa y ja kilometrejä x. Tällöin taksimatkan hintaa kuvaa yhtälö y=1,24(x-2)
Piirretään suora samaan koordinaatistoon edellisen esimerkin suoran kanssa.
Kuvaajien perusteella nähdään, että hinta on yhtä suuri kohdassa 62,53 km, eli halvemmaksi tulee korkeintaan 62 km matka.
Matemaattinen malli voi olla myös täsmällinen. Tällaisia ovat esimerkiksi pinta-alat ja tilavuudet. Alla on suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-alojen täsmälliset mallit.
Mikäli matemaattisen mallin kuvaaja on suora, kutsutaan sitä lineaariseksi malliksi.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.
a) Kuinka monta prosenttia hiilidioksidin määrä ilmakehässä on lisääntynyt edellä mainittujen mittauskertojen välillä?
b) Tutkija mallintaa hiilidioksidipitoisuuden kasvua suoralla y = kt + 316. Tässä y kuvaa hiilidioksidipitoisuutta (yksikkönä ppm) ja t kulunutta aikaa vuoden 1958 maaliskuusta alkaen (yksikkönä vuosi). Määritä se suoran kulmakerroin k, jolla malli antaa mitatun tuloksen maaliskuussa 2016.
c) Minkä arvon b-kohdan mallisi antaa maaliskuun 2020 hiilidioksidipitoisuudelle?
Kevät 2018
a) 28%
b) 1,53
c) 411 ppm
2. Erään mallin mukaan naisten kuntoharjoittelun maksimisyke lasketaan kaavalla 226 - T ja miesten maksimisyke kaavalla 220 - T , kun T on henkilön ikä vuosina.
a) Kuinka monta prosenttia 18‐vuotiaan naisen maksimisyke on samanikäisen miehen maksimisykettä korkeampi?
b) Erään suosituksen mukaan kuntoharjoittelussa sykkeen tulisi olla 60−70 % maksimi‐ sykkeestä. Määritä nämä rajat 30‐vuotiaalle naiselle.
Kevät 2015
a) 3%
b) Alaraja 118, Yläraja 137