Eksponentiaalinen malli

Mikäli jokin muuttuu yhtä monta prosenttia samassa ajassa, on muutos eksponentiaalista. Se voi olla kasvua, kuten eläinpopulaation kasvu tai säästötilin saldo, jolle maksetaan vuosittain korkoa tai se voi olla vähenemistä, kuten radioaktiivinen hajoaminen tai lääkkeen määrä elimistössä.

Esimerkki 1

Säästötilille tehdään 1000 € talletus. Talletukselle maksetaan 2,0 % vuosikorko.

Muodostetaan eksponentiaalinen malli kuvaamaan talletuksen määrää x vuoden kuluttua.

Vuodessa talletus tulee 1,02-kertaiseksi. Joka vuosi tilillä oleva raha kerrotaan luvulla 1,02

Muodostetaan funktio f, joka ilmaisee tilillä olevan rahamäärän x vuoden kuluttua.

Nyt voimme selvittää esimerkiksi kuinka paljon tilillä on rahaa 10 vuoden kuluttua

Tai kuinka monta vuotta kestää, että tilillä on 2000 €?

Kestäisi siis 35 vuotta, että tilin saldo olisi 2000€

Eksponentiaalinen kasvaminen tapahtuu monesti nopeasti todella suureksi.

Esimerkki 2

Liisa-Petteri sai töitä maatalouslomittajana vaikka hänellä ei ollut kokemusta juuri lainkaan. Asian ratkaisi palkkatoive. Hän pyysi ensimmäiseltä viikolta palkkaa 1 € ja seuraavalta 2 €. Hän pyysi, että palkka tuplaantuisi joka viikko kolmen kuukauden ajan. Tämän jälkeen se pysyisi samana. Eihän tuo ole juuri mitään, mietti työnantaja ja allekirjoitti sopimuksen.

Kuinka paljon Liisa-Petterin viikkopalkaksi lopulta tuli kolmen kuukauden jälkeen?

Ensimmäiseltä viikolta palkka on 1 € ja tuplaantumisia tapahtuu 12 kappaletta, jolloin palkka on

Euron lähtöpalkka muuttui 4096 € palkaksi vain kolmessa kuukaudessa. Tämähän oli viikkopalkka, joten kuukaudessa Liisa-Petteri sai 16384 €.

Esimerkki 3

Vereen imeytyneen kofeiinin määrä puolittuu noin 5 tunnissa. Yhdessä 1,5 l pullossa kolajuomaa on 195 milligrammaa kofeiinia. Kofeiini imeytyy nopeasti vereen ja maksimivaikutus on nähtävissä noin puolen tunnin kuluttua. Oletetaan, että puolen tunnin kuluttua koko 195 mg kofeiinia on veressä.

Kuinka paljon kofeiinia on veressä 10 tunnin kuluttua maksimivaikutuksesta?

Puolittumisia tapahtuu kymmenessä tunnissa kaksi, joten kofeiinia on jäljellä neljäsosa, eli 48,75 mg.

Kofeiinin puolittumista kuvaava malli olisi

Funktiossa t on aika maksimivaikutuksesta. 10 tunnin kuluttua

Funktion avulla voimme selvittää esimerkiksi kuinka kauan kestää, että kofeiinia on jäljellä alle 10 mg.

Jotta kofeiinia on jäljellä alle 10 mg, kestää se noin 21 ja puoli tuntia.