Tason koordinaatisto

Tason koordinaatisto muodostuu (x,y) -pistepareista. Koordinaatistossa x-akseli on vaakasuora ja y-akseli on pystysuora. Akselien leikkauskohtaa, eli pistettä (0.0) kutsutaan origoksi. Koordinaatisto on tuttu jo edelliseltä kurssilta.

Kahden pisteen välinen etäisyys, eli pisteiden välisen janan pituus.

Esimerkki 1

Määritetään pisteiden (2,3) ja (5,7) välinen etäisyys.

Koordinaatistossa voimme muodostaa pisteiden kautta suorakulmaisen kolmion. Kolmion hypotenuusan pituus on pisteiden välinen etäisyys. Kuvassa hypotenuusaa on merkitty kirjaimella h.

Voimme siis ratkaista pisteiden välisen etäisyyden käyttäen pythagoraan lausetta. Koska kyseessä on pituus, vain positiivinen ratkaisu kelpaa. Pisteiden välinen etäisyys on 5.

Taulukoista löytyvä pisteiden välinen etäisyys -kaava tulee pythagoraan lauseesta.

Pisteiden (x₁,y₁) ja (x₂,y₂) välinen etäisyys (janan pituus)

Esimerkki 2

Määritetään janan keskipiste, kun janan päätepisteet ovat (0,2) ja (6,6)

Janan keskipiste löytyy puolivälistä vaakasuoraa sekä pystysuoraa muutosta. x-koordinaattien erotus on 6, joten keskipisteen vaakasuora etäisyys alkupisteestä on 3. y-koordinaattien erotus on 4, joten pystysuora etäisyys alkupisteestä on 2. Keskipiste on siis (3,4). Janan keskipiste on päätepisteiden keskiarvo.

Yleisesti janan keskipiste saadaan, kun tunnetaan päätepisteet (x₁,y₁) ja (x₂,y₂)