Yksikköympyrä
ja suunnatut kulmat
Yksikköympyrä
Määritetään koordinaatistoon ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on 1.
Kurssilta MAA5 - Analyyttinen geometria, muistamme, että tällaisen ympyrän yhtälö on
Suunnatut kulmat yksikköympyrässä
Esimerkki 1
Valitaan yksikköympyrän kehältä piste A.
Pisteeseen A piirretyn säteen ja x-akselin välinen kulma on 𝛼.
Muodostetaan suorakulmainen kolmio siten, että
hypotenuusana on ympyrän säde.
Pisteen A koordinaatit ovat (0,8;0,6). Koska kolmion yksi kärki on origossa, muodostuu kolmion kateettien pituuksiksi suoraan kehäpisteen A koordinaattien arvot. Tässä tapauksessa kateettien pituudet ovat 0,8 ja 0,6 sekä hypotenuusan pituus on 1.
Nyt voisimme määrittää kulman 𝛼 käyttäen trigonometrisia funktioita sini tai kosini
Eli sin(36,9° )=0,6 ja cos(36,9° )=0,8 Voisimme ilmoittaa pisteen A koordinaatit kulman 𝛼 avulla A(cos(36,9° ),sin(36,9° )).
Merkitään kehäpisteen A koordinaatit (x,y) Tällöin kulmalle 𝛼 pätee
Esimerkki 2
Märitetään kehäpisteiden A, B ja C koordinaatit
Pistettä A vastaava kulma on 30°
Pistettä B vastaava kulma on 130°
Pistettä C vastaava kulma on 240°
Edellisen esimerkin perusteella
A(cos(30°),sin(30°)), B(cos(130°),sin(130°)), C(cos(240°),sin(240°))
Lasketaan koordinaatit yhden desimaalin tarkkuudella.
A(0,9;0,5)
B(-0,6;0,8)
C(-0,5;-0,9)
Sinin ja kosinin ominaisuuksia
Edellä on määritelty, että sini ja kosini ovat yksikköympyrällä kehäpisteen koordinaatteja. Sinin ja kosinin arvot vaihtelee siis välillä [-1,1]. Sini ja kosini saavat kaikki arvot välillä [-1,1].
Kaikilla kulman 𝛼 arvoilla
Sinin ja kosinin etumerkki määräytyy sen mukaan missä koordinaatiston neljänneksessä kehäpiste sijaitsee. Sini on y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti.
Sini
Kosini
Esimerkki 3
Millä kulmalla sin(𝛼)=0,5?
Koska y-koordinaatti on 0,5 kahdella kehäpisteellä, on oltava kaksi kulmaa, joiden sinin arvo on 0,5. Alla on merkittynä kehäpisteet A ja B joiden y-koordinaatti on 0,5.
Negatiivisen x-akselin sekä pisteeseen B piirretyn janan välille muodostuu kulma, joka on yhtä suuri kuin kulma 𝛼. Tämä voitaisi osoittaa esimerkiksi yhdenmuotoisuuden avulla.
On siis oltava
Ratkaistaan kulma, jolla sinin arvo on 0,5
Kulmalla 30° sinin arvo on 0,5. Edellä olevan mukaan myös kulmalla 180°-30°=150° sinin tulisi saada arvo 0,5.
Esimerkki 4
Millä kulmalla 𝛼
Kosini on kehäpisteen x-koordinaatti ja kahdella kehäpisteellä on x-koordinaatin arvo kysytyn arvon suuruinen.
Tästä muodostuu vastaava kolmio x-akselin alapuolelle ja kulma 𝛼 on suurudeltaan yhtä suuri kuin kulma 𝛽. Myötäpäivään kiertyvää kulmaa merkitään negatiivisena, joten 𝛽=-𝛼.
Tällöin 0° ja 360° välillä kosini saisi samat arvot kulmilla 𝛼 ja 360°-𝛼
Vastakulmat ja suplementtikulmat
Vastakulmat
Suplementtikulmat
Jaksollisuus
Jos kulmaan lisätään täyden kulman 360° moninkerta, säilyy kehäpiste ennallaan. Eli sini ja kosini saavat saman arvon aina 360° välein.
missä n on kokonaisluku. Tätä kutsutaan sinin ja kosinin jaksollisuudeksi.
Trigonometrian peruskaava
Origosta yksikköympyrän kehäpisteeseen piirretty säde muodostaa suorakulmaisen kolmion, jossa säde on hypotenuusa. Kateetit ovat x ja y. Tällöin pythagoraan lauseella saadaan
Tämä on myös yksisäteisen origokeskeisen ympyrän yhtälö.
Koska cos(𝛼)=x ja sin(𝛼)=y, saadaan
Tämä on trigonometrian peruskaava.
Radiaanit
Täysikulma on 360° ja yksikköympyrän kehänpituus on 2𝝅. Otetaan käyttöön kulman yksikkö radiaani, jossa 2𝝅 rad = 360°.
Kaikki edellä olleet sinin ja kosinin ominaisuudet pätevät myös, kun kulman yksikkönä on radiaani.
Esimerkki 5
Määritä väliltä [0,2𝝅] ne kulmat, joilla on sama arvo kuin
Sinin ja kosinin jakso on 2𝝅, eli 2𝝅 välein sini ja kosini saa saman arvon. Tämän lisäksi sini saa saman arvon suplementtikulmilla ja kosini vastakulmilla.
a) sin(𝝅/4)=sin(𝝅-𝝅/4), eli kulma, jolla sini saa saman arvon kuin kulmalla 𝝅/4 on
b) cos(2𝝅/5)=cos(-2𝝅/5) ja jaksollisuuden mukaan cos(-2𝝅/5)=cos(-2𝝅/5+2𝝅), kulma jolla kosini saa saman arvon kuin kulmalla 2𝝅/5 on
c) 𝝅-𝝅/2=𝝅/2, eli kulma ja suplementtikulma on sama. 𝝅/2 radiaania on 90°. Tässä sinin arvo on 1 ja välillä [0,2𝝅] sini saa arvon 1 vain tällä kulmalla.
Esimerkki 6
Määritä kosinin arvo, kun tiedetään että
Käytetään trigonometrian peruskaavaa ja sijoitetaan siihen sinin arvo.
Kulma sijaitsee välillä [𝝅/2,𝝅], joten kosini on negatiivinen. Eli vastaus on
Sinin ja kosinin välinen yhteys
Viereisessä suorakulmaisessa kolmiossa
Tämä pätee kaikille kulmille 𝛼. Tällöin radiaanien avulla lausuttuna.
Tangentti
Suunnatun kulman tangentti on sini jaettuna kosinilla. Jakajana ei voi olla nolla, joten tangentti ei ole määritelty kulmilla, joilla kosinin arvo on 0. Kosini on nolla kulmilla 𝝅/2 ja -𝝅/2 sekä näiden monikerroilla. Tangentti on siis määritelty, kun
Tangentin jakso on 𝝅
