Ympyrän yhtälö

Esimerkki 1

Määritetään kaikki pisteet, joiden etäisyys origosta on 3.

Koordinaattiakselien pisteet


Muita pisteitä


Kaikki pisteet


Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 3 origosta, muodostavat ympyrän, jonka säde on 3. Merkitään ympyrällä olevaa pistettä (x,y) ja määritetään tämän pisteen etäisyys origosta käyttämällä kahden pisteen välisen etäisyyden kaavaa. Näin saamme pistejoukon yhtälön, joka esittää ympyrää.

Tämä on siis origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 3.

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö

Merkitään ympyrän keskipistettä (x₀,y₀) . Pisteen (x,y) etäisyys keskipisteestä on

Merkitään tätä etäisyyttä, eli ympyrän sädettä, kirjaimella r

Tämä on ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö.

Keskipistemuotoisesta ympyrän yhtälöstä nähdään keskipiste ja säde suoraan.

Esimerkki 2

Keskipiste (4,2) säde 5


Keskipiste (-5,1) säde 2


Keskipiste (-7,0) säde 10


Ympyrän normaalimuotoinen yhtälö

Yleensä ympyrä tulee vastaan normaalimuotoisena. Tällöin siinä ei ole sulkeita ja kaikki termit on yhtälön vasemmalla puolella. Muutetaan seuraava ympyrän yhtälö keskipistemuodosta normaalimuotoon.

Esimerkki 3

Normaalimuotoisesta ympyrän yhtälöstä ei näe suoraan keskipistettä eikä sädettä. Tällöin on mentävä toiseen suuntaan ja muodostettava keskipistemuotoinen yhtälö. Tässä auttaa muistikaava binomin neliö.

Esimerkki 4

Alla on erään ympyrän normaalimuotoinen yhtälö

Muutetaan yhtälö keskipistemuotoon. Merkitään x:t ja y:t peräkkän ja viedään vakiot yhtälön oikealle puolelle. Lisätään yhtälöön luvut siten, että saadaan muodostettua binomin neliöt.

Ympyrän keskipiste on (-2,4) ja säde on 3