Suoran yhtälö

Kaikki suorat voidaan ilmoittaa muodossa y=kx+b, missä k on suoran kulmakerroin ja b on vakio. Edellä olevaa suoran muotoa kutsutaan ratkaistuksi muodoksi.

Kulmakerroin

Kulmakerroin kertoo kuinka jyrkästi suora nousee tai laskee. Kun kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kulmakertoimen ollessa negatiivinen suora on laskeva. Mitä suurempi kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee, Vastaavasti mitä pienempi kulmakerroin, sitä jyrkemmin suora laskee.

Kulmakerroin

Kun tunnetaan suoran kaksi pistettä, saadaan kulmakerroin laskettua viereisellä kaavalla.

Esimerkki 1

Määritetään alla olevan suoran kulmakerroin.

Valitaan suoralta pisteet (1,1) ja (3,5). Pisteiden y-koordinaattien ero on 4 ja x-koordinaattien ero on 2. Kulmakerroin on siis

Esimerkki 2

Kuvassa suorat f,g,h ja i

Määritetään kulmakertoimet

Valitaan suorilta kaksi pistettä

Suoran f kulmakerroin k=2 Suoran i kulmakerroin k=-1

Suora h on vaakasuora, joten y-koordinaattien erotus on 0. Kulmakerroin k=0

Suora g on pystysuora, joten x-koordinaattien erotus on 0. Tässä tapauksessa jakajaksi tulisi 0, eli kulmakerroin ei ole määritelty. Suorilla, jotka ovat y-akselin suuntaisia ei ole kulmakerrointa.

Kulmakertoimelle myös pätee

jossa α on suoran ja x-akselin välinen kulma

Kokeile

Voit muuttaa suoran suuntaa vetämämällä pisteestä A. Saat muutettua kulmakertoimen apukolmiota vetämällä pisteistä B ja C.

Suoran vakiotermi b

Suoran yhtälö toteuttaa säännön x- ja y-koordinaattien välillä. Esimerkiksi suora y=2x+2 kertoo meille, että pisteen y-koordinaatti saadaan, kun x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja tuloon lisätään kaksi. Jos halutaan laskea mikä on suoran piste, jossa x-koordinaatti on 1, sijoitetaan x=1 suoran yhtälöön. Tässä tapauksessa saataisiin y=4, joten suoran piste on (1,4).

Edellä olevassa suoran yhtälössä vakiotermi on 2. Jos halutaan tietää mikä on suoran piste, missä x=0, tehdään sijoitus. Meille jää y=2, eli vakiotermi. Kun x=0, ollaan y-akselilla. Toisin sanoen vakiotermi kertoo meille missä pisteessä suora leikkaa y-akselin.

Esimerkki 3

Määritetään esimerkki 2 suoran yhtälöt.

Suora f leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), joten b=5 ja suoran yhtälö on y=2x+5

Suora i leikkaa y-akselin pisteessä (0,3), joten b=3 ja suoran yhtälö y=-x+3

Suoralla h on vain vakiotermi joten suoran yhtälö on y=5

Suoralla g ei ole kulmakerrointa, eikä se leikkaa y-akselia. Suoran yhtälö on x=2

Suoran normaalimuoto

Kuten ympyrällä, suoralla on normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki termit siirretään yhtälön vasemmalle puolelle ja muokataan yhtälö siten että termien kertoimet ovat kokonaislukuja. Termin, jossa on x, kerroin on positiivinen ja tämä termi on yhtälössä ensimmäisenä.

Esimerkki 4

Muutetaan alla oleva suoran yhtälö normaalimuotoon

Kokeile

Voit liikutella suoraa pisteistä A ja B. Näet suoran yhtälön ratkaisussa muodossa sekä normaalimuodossa.

Suorien leikkauspisteitä

Suora leikkaa y-akselin, kun x=0 ja x-akselin, kun y=0.

Esimerkki 5

Määritetään suoran y=2x-4 ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.

Ratkaisu

Suoran vakiotermistä nähdään suoraan, että suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,-4)

Merkitään y=0, jolloin saadaan x-akselin leikkauspiste.

2x-4=0, josta saadaan x=2. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (2,0)

Esimerkki 6

Määritetään suorien y=3x-6 ja y=2x-4 leikkauspiste

Ratkaisu

Leikkauspiste on molemmille suorille yhteinen piste. Suorien yhtälöistä saadaan yhtälöpari. Merkitään suorat yhtäsuuriksi.

3x-6=2x-4, yhtälön ratkaisu on x=2 ja sijoittamalla tämä toiseen suorien yhtälöistä, saadaan y=0

Suorat leikkaavat toisensa pisteessä (2,0)

Suorien kohtisuoruus

Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli suorien kulmakertoimet ovat toistensa vastalukujen käänteislukuja. Toisin sanoen kulmakertoimien tulo on -1

Esimerkki 7

Osoitetaan, että alla olevat suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Muutetaan suorat ratkaistuun muotoon

Kulmakertoimet ovat -2 ja 1/2, joten

Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

  1. Olkoot A(2,2) , B(3,1), C(2,3) ja D(1,1). Laske janojen AB ja CD leikkauspisteen koordinaattien tarkat arvot.

Kevät 2015

(-19/17,31/17)

2. Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3x − 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö.

Syksy 2008 (1c-kohta)

3x − 5y + 22 = 0

3. Suora kulkee pisteen (1, 2) kautta. Määritä suoran yhtälö, kun a) se on x-akselin suuntainen, b) se on y-akselin suuntainen, c) sen suuntakulma on −45 astetta, d) se on kohtisuorassa suoraa 2x + y = 0 vastaan. Piirrä kuviot.

Kevät 2002

a) y=2

b) x=1

c) y=−x+3

d) x − 2y + 3 = 0

4. Millä kertoimen m arvoilla suoralla y = mx + 2 ja käyrällä y = x³ − 3x + 2 on vain yksi yhteinen piste?

Kevät 1971

m ≤ −3

5. Suora L on suoran 3x + 4y = 5 suuntainen ja kulkee pisteen (3, -2) kautta. Missä pisteessä L leikkaa x-akselin?

Kevät 1974

(1/3,0)

6. Määritä pisteen (2,2) peilikuva (symmetrinen piste) suoran x - 2y - 2 = 0 suhteen.

Syksy 1976 (Lyhyt)

(18/5,-6/5)

7. Määritä vakio a siten, että pisteistä (-1,1) ja (0,3) suoralIe ax + (1-a)y = 1 piirretyt kohtisuorat yhtyvät.

Syksy 1977 (Lyhyt)

a=1/3

8. Kolmion kärkinä ovat pisteet A = (-2,0), B = (4,-2) ja C = (1,6). Näytä, että pisteestä B piirretty korkeusjana kulkee origon kautta.

Syksy 1978 (Lyhyt)

Origon ja pisteen B kautta kulkeva suora on kohtisuorassa pisteiden A ja C kautta kulkevan suoran kanssa.

9. Määritä sen suoran yhtälö, joka puolittaa x-akselin ja suoran s välisen terävän kulman.

Kevät 1981

x+2y-3=0

10. Määritä se suoran 3x + 2y = 2 piste, joka on lähinnä origoa.

Syksy 1990 (Lyhyt)

(6/13,4/13)

Osion perustehtävät