Suoran yhtälö

Kaikki suorat voidaan ilmoittaa muodossa y=kx+b, missä k on suoran kulmakerroin ja b on vakio. Edellä olevaa suoran muotoa kutsutaan ratkaistuksi muodoksi.

Kulmakerroin

Kulmakerroin kertoo kuinka jyrkästi suora nousee tai laskee. Kun kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kulmakertoimen ollessa negatiivinen suora on laskeva. Mitä suurempi kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee, Vastaavasti mitä pienempi kulmakerroin, sitä jyrkemmin suora laskee.

Kulmakerroin

Kun tunnetaan suoran kaksi pistettä, saadaan kulmakerroin laskettua viereisellä kaavalla.

Esimerkki 1

Määritetään alla olevan suoran kulmakerroin.

Valitaan suoralta pisteet (1,1) ja (3,5). Pisteiden y-koordinaattien ero on 4 ja x-koordinaattien ero on 2. Kulmakerroin on siis

Esimerkki 2

Kuvassa suorat f,g,h ja i

Määritetään kulmakertoimet

Valitaan suorilta kaksi pistettä

Suoran f kulmakerroin k=2 Suoran i kulmakerroin k=-1

Suora h on vaakasuora, joten y-koordinaattien erotus on 0. Kulmakerroin k=0

Suora g on pystysuora, joten x-koordinaattien erotus on 0. Tässä tapauksessa jakajaksi tulisi 0, eli kulmakerroin ei ole määritelty. Suorilla, jotka ovat y-akselin suuntaisia ei ole kulmakerrointa.

Suoran vakiotermi b

Suoran yhtälö toteuttaa säännön x- ja y-koordinaattien välillä. Esimerkiksi suora y=2x+2 kertoo meille, että pisteen y-koordinaatti saadaan, kun x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja tuloon lisätään kaksi. Jos halutaan laskea mikä on suoran piste, jossa x-koordinaatti on 1, sijoitetaan x=1 suoran yhtälöön. Tässä tapauksessa saataisiin y=4, joten suoran piste on (1,4).

Edellä olevassa suoran yhtälössä vakiotermi on 2. Jos halutaan tietää mikä on suoran piste, missä x=0, tehdään sijoitus. Meille jää y=2, eli vakiotermi. Kun x=0, ollaan y-akselilla. Toisin sanoen vakiotermi kertoo meille missä pisteessä suora leikkaa y-akselin.

Esimerkki 3

Määritetään esimerkki 2 suoran yhtälöt.

Suora f leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), joten b=5 ja suoran yhtälö on y=2x+5

Suora i leikkaa y-akselin pisteessä (0,3), joten b=3 ja suoran yhtälö y=-x+3

Suoralla h on vain vakiotermi joten suoran yhtälö on y=5

Suoralla g ei ole kulmakerrointa, eikä se leikkaa y-akselia. Suoran yhtälö on x=2

Suoran normaalimuoto

Kuten ympyrällä, suoralla on normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki termit siirretään yhtälön vasemmalle puolelle ja muokataan yhtälö siten että termien kertoimet ovat kokonaislukuja. Termin, jossa on x, kerroin on positiivinen ja tämä termi on yhtälössä ensimmäisenä.

Esimerkki 4

Muutetaan alla oleva suoran yhtälö normaalimuotoon

Suorien leikkauspisteitä

Suora leikkaa y-akselin, kun x=0 ja x-akselin, kun y=0.

Esimerkki 5

Määritetään suoran y=2x-4 ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.

Ratkaisu

Suoran vakiotermistä nähdään suoraan, että suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,-4)

Merkitään y=0, jolloin saadaan x-akselin leikkauspiste.

2x-4=0, josta saadaan x=2. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (2,0)

Esimerkki 6

Määritetään suorien y=3x-6 ja y=2x-4 leikkauspiste

Ratkaisu

Leikkauspiste on molemmille suorille yhteinen piste. Suorien yhtälöistä saadaan yhtälöpari. Merkitään suorat yhtäsuuriksi.

3x-6=2x-4, yhtälön ratkaisu on x=2 ja sijoittamalla tämä toiseen suorien yhtälöistä, saadaan y=0

Suorat leikkaavat toisensa pisteessä (2,0)

Suorien kohtisuoruus

Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli suorien kulmakertoimet ovat toistensa vastalukujen käänteislukuja. Toisin sanoen kulmakertoimien tulo on -1

Esimerkki 7

Osoitetaan, että alla olevat suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Muutetaan suorat ratkaistuun muotoon

Kulmakertoimet ovat -2 ja 1/2, joten

Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.