Itseisarvoyhtälö

Mikä luku sopii x:n paikalle, kun |x|=4?

Itseisarvon määritelmän mukaan x on luku, jonka etäisyys nollasta on 4. Tällöin x=4 tai x=-4. Itseisarvoyhtälöstä saadaan yleensä kaksi ratkaisupolkua.

Esimerkki 1

Ratkaise x

|2x|=4

Määritelmän mukaan

2x=4 tai 2x=-4, josta saadaan, että x=2 tai x=-2.

Esimerkki 2

Ratkaise x

|3x-6|=9

Määritelmän mukaan

3x-6=9 tai 3x-6=-9, josta saadaan x=5 tai x=-1


Esimerkki 3

Ratkaise x

|4x-7|=-5

Itseisarvo on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, joten edellisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö

Muodostetaan kaksi yhtälöä määritelmän mukaan

Saadaan kaksi toisen asteen yhtälöä. Ensimmäisen ratkaisut ovat x=-2 tai x=3 ja jälkimmäisen ratkaisut ovat x=-1 tai x=2, eli alkuperäisen itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat x=-2, x=-1, x=2 tai x=3

Yhtälö, jossa kahden funktion itseisarvot ovat yhtä suuret, toteutuu, kun funktioden arvot ovat yhtäsuuret tai vastaluvut.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö

|2x-4|=|x-5|

Puretaan määritelmän mukaan kahdeksi yhtälöksi

2x-4=x-5 tai 2x-4=-(x-5)

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x=-9 ja toisesta x=3