Itseisarvoepäyhtälö

Esimerkki 1

Mitkä luvut sopivat x:n paikalle?

|x|<3

Ratkaisu

Merkintä |x|<3 tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys nollasta on pienempi kuin kolme. Ratkaisuna on väli -3<x<3

Esimerkki 2

Mitkä luvut sopivat x:n paikalle?

|x|>3

Ratkaisu

Merkintä |x|>3 tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys nollasta on suurempi kuin kolme. Ratkaisuna x<-3 tai x>3

Lukusuoralle ratkaisua piirrettäessä pitää huomioida onko päätepiste, eli yhtäsuuruus, mukana, Mikäli yhtäsuuruus ei ole mukana, kuten ylläolevissa esimerkeissä, on päätepisteenä avoin pallo. Yhtäsuuruuden ollessa mukana merkitään päätepistettä kokonaan väritetyllä pallolla.

Ylläoleva epäyhtälö esitettynä lukusuoralla.

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö |x-3|<2

Ratkaisu

Itseisarvojen sisällä on kaksi lukua, x ja 3. Ylläoleva merkintä tarkoittaa kaikkia niitä lukuja, joiden etäisyys luvusta kolme on pienempi kuin kaksi. Alla ratkaisu merkittynä lukusuoralle, josta nähdään, että 1<x<5

Yhtälö voidaan ratkaista myös analyyttisesti. Merkinnässä |x-3|<2 itseisarvojen sisällä olevan laskutoimituksen on oltava suurempi kuin -2 ja pienempi kuin 2.

-2<x-3<2 || +3

-2+3<x-3+3<2+3

1<x<5


Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö |2x+3|>1

Ratkaisu

Itseisarvojen sisällä olevan laskutoimituksen on oltava suurempi kuin yksi tai pienempi kuin miinus yksi

2x+3>1 tai 2x+3<-1

Kahdesta epäyhtälöstä saadaan x>-1 tai x<-2

Tässä tapauksessa epäyhtälöitä ei voida kirjoittaa yhteen, sillä epäyhtälöiden pitää pysyä totena alusta loppuun, kuten esimerkissä 3.