Etäisyyksiä

Kahden pisteen välinen etäisyys

Kahden pisteen välisen etäisyyden kaava saatiin pythagoraan lauseesta ja se on

Ympyröiden etäisyys

Ympyröiden välinen etäisyys saadaan, kun lasketaan keskipisteiden välinen etäisyys ja vähennetään tästä säteet.

Esimerkki 1

Lasketaan alla olevien ympyröiden välinen etäisyys.

Muutetaan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon

Ensimmäisen ympyrän keskipiste on (1,1) ja säde 3. Toisen ympyrän keskipiste on (10,13) ja säde 5. Lasketaan keskipisteiden välinen etäisyys.

Ympyröiden välinen etäisyys on 15-3-5=7

Mikäli vastauksena tulisi negatiivinen luku, tarkoittaisi se, että ympyrät leikkaavat toisensa. Jos etäisyys on nolla, ympyrät sivuavat toisiaan.

Pisteen etäisyys suorasta

Pisteen etäisyydellä suorasta tarkoitetaan pisteen lyhintä etäisyyttä suorasta. Pisteestä suoralle piirretty jana on tällöin kohtisuorassa suoraa vastaan. Etäisyys saadaan käyttämällä kaavaa.

Kaavassa osoittajassa itseisarvojen sisällä on suora normaalimuodossa ja x₀ sekä y₀ tarkoittaa pistettä, jonka etäisyyttä haetaan.

Esimerkki 2

Määritetään pisteen (2,3) etäisyys suorasta y=-2x+4

Ratkaisu

Muutetaan suora normaalimuotoon

2x+y-4=0 ja sijoitetaan tämä kaavaan.

Suoran etäisyys ympyrästä

Kun määritetään suoran etäisyys ympyrästä, lasketaan ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta ja vähennetään tästä ympyrän säde.

Esimerkki 3

Alapuolella on suoran ja ympyrän yhtälöt. Määritetään suoran etäisyys ympyrästä.

Muutetaan suora normaalimuotoon

ja ympyrä keskipistemuotoon

Ympyrän keskipiste on (2,0) ja säde 2. Keskipisteen etäisyys suorasta

Suoran etäisyys ympyrästä on siis

Mikäli etäisyys on negatiivinen, leikkaa suora ympyrän kahdesta kohdasta. Etäisyyden ollessa 0, on suora ympyrän tangentti.