Esimerkki 1

Ratkaise kolmannen asteen yhtälö

Otetaan yhteinen tekijä jolloin saamme tulon nollasäännöllä yhden nollakohdan x=0 sekä toisen asteen yhtälön, josta saadaan loput ratkaisut x=-1 ja x=2.

Esimerkki 2

Ratkaise kolmannen asteen yhtälö

Nyt ei pysty ottamaan kaikista termeistä yhteistä tekijää. Käytetään ryhmittelyä.

Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu x=2, sillä toisen asteen tekijällä ei ole nollakohtia.

Esimerkki 3

Ratkaise neljännen asteen yhtälö

Merkitään

ja sijoitetaan se yhtälöön

tehdään takaisinsijoitus

Yhtälöllä on neljä ratkaisua. x=-2, x=-1, x=1 ja x=2

Mikäli juuret ovat kokonaislukuja ja jokin yhtälön juurista tunnetaan, on helppoa määritellä muut juuret ryhmittelyn avulla. Yhtälön juuret ovat vakiotermin tekijöitä.

Esimerkki 4

Tiedetään, että alapuolisen yhtälön eräs juuri on x=1. Mitkä ovat muut juuret?

Koska eräs juuri on x=1, voimme ryhmitellä termit siten, että saamme yhteiseksi tekijäksi x - 1

Muokataan termejä siten että kolmannen ja toisen asteen termeistä saamme yhteiseksi tekijäksi x - 1

Tämän jälkeen muokataan toisen ja ensimmäisen asteen termejä, jotta näistä myös saa yhteiseksi tekijäksi x - 1

Sitten vielä ensimmäisen asteen termistä ja vakiotermistä yhteinen tekijä

Nyt voimme ottaa x - 1 yhteiseksi tekijäksi

Tulon nollasäännöllä jompikumpi tulon tekijöistä on 0 tai molemmat.

Toisen asteen yhtälön ratkaisut

Josta tulon nollasäännöllä nähdään muut juuret, eli x = 5 ja x = 6

Esimerkki 5

Alapuolisen yhtälön eräs juuri on x = -2. Mitkä ovat muut juuret?

Muokataan yhtälöä siten, että saadaan yhteiseksi tekijäksi x + 2. Lisätään toisen asteen termi ja sama termi negatiivisena (eli lisättiin 0) ja jaetaan ensimmäisen asteen termi sopivasti.

Nyt jokaisesta termiparista saadaan yhteinen tekijä siten että sulkeisiin jää x + 2

Yhteiseksi tekijäksi x + 2

Tällöin

x = -2 tai toisen asteen yhtälöstä

Josta tulon nollasäännöllä saamme juuriksi x = -1 ja x = 3

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen