2. asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa on yhdessä termissä muuttujan toinen potenssi. Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat muotoa

missä a on toisen asteen termin kerroin, b on ensimmäisen asteen termin kerroin ja c on vakiotermi.

Esimerkki 1

Tarkastellaan ensin vaillinnaista toisen asteen yhtälöä, josta puuttuu ensimmäisen asteen termi, eli b=0.

Tulon nollasääntö

Kertolaskun tulo on nolla jos ja vain jos yksi tai useampi tulon tekijöistä on nolla

Esimerkki 2

Toinen vaillinnainen toisen asteen yhtälö on sellainen, josta puuttuu vakiotermi, eli c=0.

Ratkaisukaava

Täydellisessä toisen asteen yhtälössä tarvitsemme ratkaisukaavaa. Eli kaikki kertoimet a, b ja c on erisuuria kuin 0.

Esimerkki 3

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö käyttäen kaavaa

Kerätään kertoimet ja muistetaan, että etumerkki kuuluu mukaan lukuun

a=1, b=-2 ja c=-8

sijoitetaan kaavaan

Ratkaisut ovat siis x=-2 tai x=4

Neliöksi täydentäminen

Toisen asteen yhtälö voidaan myös ratkaista neliöksi täydentämällä. Eli muokataan yhtälön vasemmalle puolelle binomin neliö.


Esimerkki 4

Muokataan yhtälö siten, että vasemmalla puolella on binomin neliö

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Toisen asteen termin kerroin a määrää aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin. Kun a>0 paraabeli aukeaa ylöspäin. Kun a<0 paraabeli aukeaa alaspäin. Mikäli a=0, kyseessä ei ole toisen asteen polynomifunktio, koska toisen asteen termiä ei olisi.

Alapuolella on funktion f kuvaaja. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdissa x=-1 ja x=5. Nämä ovat funktion nollaohdat, jotka ratkaisimme laskemalla esimerkissä 4.